Podíl ve společnosti. sítě:


KOMPLEXNÍ ČÍSLA A ČINY NA TĚCHTO




Obsah

§1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA A ČINY NA TĚCHTO
§2 SEKVENCE KOMPLEXNÍCH ČÍSEL S ŘADEM S KOMPLEXNÍMI ČLENMI
§3. FUNKCE KOMPLEXNÍCH VARIABILNÍCH
§4 OMEZENÍ KOMPLEXNÍCH VARIABILNÍ FUNKCE. POKRAČOVÁNÍ
§5. ROZDĚLENÍ FUNKCÍ KOMPLEXNÍHO VARIABILNÍHO PODMÍNKU COSHI-RIMAN
§ 6 INTEGRAL Z KOMPLEXNÍ VARIABILNÍ FUNKCE
§7. Integrální Cauchyova věta. Cauchy Formula
§8. JEDNOTNÁ KONVERGENCE FUNKČNÍ SÉRIE ABELOVÉ TEOREM
§ 9. TAYLOROVÉ ROZSAH ANALYTICKÉ FUNKCE
§ 10. LORAN SERIES ISOLATED SPECIÁLNÍ BODY
§11. SNÍŽENÍ ZÁKLADNÍ DOPADY TEOREM.
§12. VÝPOČET URČENÝCH INTEGRÁLŮ ZÁKONEM
LITERATURE

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A ČINY NA TĚCHTO

Dokonce i nejjednodušší algebraické operace na reálných číslech (extrahování odmocniny záporného čísla, řešení kvadratické rovnice s negativním diskriminačním) přinášejí to za hranice množiny reálných čísel. Další zobecnění koncepce čísla vede ke složitým číslům. Pozoruhodnou vlastností souboru komplexních čísel je jeho blízkost s ohledem na základní matematické operace. Jinými slovy, základní matematické operace na komplexních číslech nejsou odvozeny ze sady komplexních čísel.

Komplexní číslo ( v algebraické formě ) je výrazem

kde - libovolná reálná čísla, - imaginární jednotka určená podmínkou .

Počet nazvaná skutečná část složitého čísla označované jako (z latiny " realis "), číslo nazvaný imaginární část složitého čísla a označuje ji (z latiny " imaginarius ").

Dvě komplexní čísla a jsou stejné, pokud a pouze pokud jsou jejich skutečné a imaginární části rovny: , . Dvě složitá čísla jsou stejná nebo nerovná (koncepce "více" a "méně" pro složitá čísla nejsou zavedena).

Komplexní spojení s číslem volané číslo . Je zřejmé, že komplexní - konjugované číslo na odpovídá číslu : .

Aritmetické operace. Přidání, odečítání a násobení komplexních čísel se provádí podle obvyklých pravidel algebry.

Nechte , . Pak

součet ,

rozdíl ,

práce ,

kvocient (s ).

Příklad 1 Nastavte složitá čísla , .

Najdi , , .

Rozhodnutí . ;

;

.

Úkol 1 . Nechte a - pár komplexních čísel konjugátu. Ukažte, že jejich součet je skutečné číslo, rozdíl je pomyslné číslo a produkt je skutečné ne záporné číslo.




Příklad 2 Najdi , .

Rozhodnutí . ; .

,

Poznámka Počet stupňů může být zobrazen jako tabulka

Příklad 3. Vynásobte čísla a .

Rozhodnutí .

Příklad 4 Výpočet a) ; b) ; c) .

Rozhodnutí .

a) Otevřete rozdílový čtverec:

.

b) Otevřete souhrnnou kostku:

.

c) Podle binomialismu Newtona :

.

Mohlo by být považováno za: .

Příklad 5. Najděte soukromý pokud .

Rozhodnutí .

.

Příklad 6 Vypočítat a) , b) .

Rozhodnutí . a) .

b) .

Zapamatujte si:

Geometrická interpretace komplexního čísla.

Zvažte kartézský obdélníkový souřadný systém. Vložte skutečnou část na osu úsečky komplexní číslo , a na ose y - jeho pomyslnou část . Získat bod se souřadnicemi . Navíc každé komplexní číslo odpovídá jednomu bodu roviny. Opak je pravda: každý bod letadlům lze přiřadit složité číslo jehož skutečnou roli je rovná bodové abscise a imaginární část rovnající se souřadnicovému bodu. Mezi složitými čísly a body letadla je tedy vytvořena individuální korespondence. (Dříve jsme mluvili o individuální korespondenci mezi reálnými čísly a body číselné čáry).

Letadlo, jehož body reprezentují složitá čísla, se nazývá složitá rovina . Chcete-li jej odlišit od skutečné roviny v pravém horním rohu, napište písmeno v kruhu. Osa úsečky v takové rovině se nazývá skutečná osa a osa osy se nazývá imaginární osa. Komplexní číslo konjugátu je zrcadlovým obrazem daného komplexního čísla o skutečné ose. Původ je nazýván nulovým bodem. Vzdálenost komplexního čísla od původu souřadnic se nazývá modul tohoto čísla:



.

Problém 2. Dokažte to .

Modul rozdílu dvou komplexních čísel je vzdálenost mezi odpovídajícími body:

.

Do každého bodu komplexní roviny přidružujeme vektor se začátkem v nulovém bodě a koncem v tomto bodě. Je zřejmé, že tato korespondence je individuální. V této interpretaci jsou skutečnými a imaginárními částmi komplexního čísla první a druhá složka vektoru. Částka je nyní reprezentována úhlopříčkou paralelogramu postaveného na vektorech a rozdíl chápáno jako . Modul komplexního čísla je délka vektoru. Geometricky zřejmé je nerovnost trojúhelníku v komplexní rovině: .

Příklad 7. Určete místo bodů na složité rovině, pro které

a) ; b) ;
c) ; d) .

Rozhodnutí . a) od pak může být daná dvojnásobná nerovnost přepisována ve formě: . Mám svislý pás.

b) od pak přepsat danou dvojitou nerovnost ve formě: . Mám vodorovný pruh. Úkoly c) ad) řešíme samostatně.

Příklad 8. Zadejte místo bodů na složité rovině, pro které a) ; b) ; c) .

Rozhodnutí . a) Modul složitého čísla Je délka vektoru od nuly k bodu t.j. vzdálenost od místa původu k bodu . Takže v případě mluvíme o geometrickém umístění bodů na rovině rovnoměrně od původu - to je kruh (v tomto případě je poloměr kruhu 1). Bylo možné překládat problém do jazyka karteziánských souřadnic:

.

b) Zde hovoříme o geometrickém umístění bodů mimo kruh poloměru (soustředěné na počátku).

c) body jsou v kruhu mezi kruhy poloměru a .

Příklad 9. Zadejte místo bodů na složité rovině, pro které a) ; b) ; c) .

Rozhodnutí . a) rozdílový modul Je vzdálenost mezi bodem komplexní rovina a bod 1. Takže mluvíme o geometrickém umístění bodů, které jsou rovnoměrně (ve vzdálenosti 1) od bodu 1, je kružnicí o poloměru 1 vycentrovaném v bodě (1; 0). V jazyce souřadnic:

.

b) Body jsou současně v kruhu soustředěné na počátku a v kruhu středem : .

c) Jsou to body pravé poloviny letadla ležící uvnitř kruhu : .

:

Trigonometrická podoba komplexního čísla. Komplexní argument úhel volání který tvoří vektor s pozitivním směrem skutečné osy, . Tento úhel je nejednoznačný:

.

Tady - hlavní hodnotu argumentu, je zdůrazněna nerovnostmi (tj. řez je proveden v komplexní rovině podél pravé osy nalevo od původu).

V prvním sloupci specifikováno pro číslo ležící na pravé nebo imaginární ose a ve druhém sloupci - pro všechna ostatní složitá čísla.

Označte . Tak jako , , pak komplexní číslo může být reprezentováno v trigonometrické podobě :

.

Dvě komplexní čísla a v trigonometrické podobě

, ,

na základě nejednoznačnosti argumentu jsou stejné, pokud a pouze v případě , .

Příklad 10. Najděte moduly a argumenty, stejně jako hlavní hodnoty argumentů složitých čísel . Napište každý z nich do trigonometrické podoby.

Rozhodnutí . Moduly všech těchto čísel jsou stejné:

.

Argument každého čísla je nalezen s přihlédnutím ke čtvrtletí, ve které odpovídá příslušný bod.

1) Bod leží v prvním čtvrtletí

.

V trigonometrické podobě počítáno zde - frekvence kosinusu a sinusu.

2) Bod leží ve druhém čtvrtletí

,

.

3) Bod leží ve třetím čtvrtletí

,

.

.

4) Bod leží ve čtvrtém čtvrtletí

,

.

.

Násobení a dělení komplexních čísel v trigonometrické podobě. Nechte čísla a jsou uvedeny v trigonometrické podobě: , . Vynásobte je:

.

Připomínajíc vzorce pro cosinus a sinus součtu dvou úhlů, dostaneme

. (1)

Vidíme, že při násobení složitých čísel se jejich moduly násobí a přidávají se argumenty. Geometrický význam této operace: reprezentace čísel a vektory na složité rovině pocházející z nulového bodu, vidíme, že vektor získané z vektoru "Protahování" jednou a úhel natočení .

Pro soukromé získáme vzorec:

. (2)

Příklad 11. Najděte výrobek a kvocient čísel

a .

Rozhodnutí . Podle vzorce (1) píšeme:

.

Zkontrolujte výsledek vynásobením těchto čísel v algebraické podobě:

.

Podle vzorce (2) najdeme

.

V algebraické podobě bude tato operace zapsána jako:

.

Zvýšení složitého čísla na napájení. Z vzorce (1) vyplývá, že exponentiace komplexní číslo vyrobené podle pravidla

. (3)

Příklad 12 Vypočítejte 1) ; 2) .

Rozhodnutí . 1) Nahoru máme záznam o složitém čísle v trigonometrické podobě: . Podle vzorce (3) najdeme . Stejný výsledek byl získán výše v příkladu 4c) za použití binomialu Newtona.

2) Nejprve zadejte číslo v trigonometrické podobě.

, ,

bod leží ve čtvrtém čtvrtletí . Proto

.

Zbývá použít vzorec (3):

.

Když zjistíme rozdílovou kostku, získáme stejný výsledek (zkontrolujte!).

At Vzorec (3) se mění na vzorec Moivre :

. (4)

S jeho pomocí se snadno získávají vztahy vyjadřující sines a cosines s různými úhly a .

Příklad 13 Express a přes a .

Rozhodnutí . Uvedení do vzorce Moivre , dostaneme:

.

Vlevo otevřete souhrnnou kostku a shromážděte podobné členy:

.

Zde se to bere v úvahu . Dosáhli jsme rovnosti dvou složitých čísel v algebraické podobě.

,

což je pravda, pokud a pouze pokud jsou skutečné a imaginární části těchto čísel stejné.

Rovnost dílů dává ;

rovnice imaginární části, dostaneme .

Extrahování kořenu ze složitého čísla. Pokud jsou složitá čísla a souvisejících pak . Představte si čísla a v trigonometrické podobě:

, .

Budeme předpokládat, že tady - hlavní hodnota čísel argumentů .

Naším úkolem je dané číslo (tj a ) definovat (tj. a ). V souladu s rovnicí (3) napsáno v

.

Z rovnic dvou komplexních čísel v trigonometrické podobě následuje:

.

Tady - kořen - síla skutečného ne-záporného čísla. Takže pro kořen - síla složitého čísla dostat vzorec

. (5)

Předpokládáme důsledně dostat různé významy :

,

,

.

Všechny tyto kořeny mají stejné moduly. t.j. odpovídající body jsou umístěny v kruhu poloměru středem původu. Argumenty dvou přilehlých kořenů se liší podle úhlu . Takže všechny kořenové hodnoty - síla složitého čísla jsou nahoře vpravo - zapsáno v okruhu poloměru .

Příklad 14. Najděte všechny kořenové hodnoty - síla složitého čísla a nakreslit je na složité rovině, pokud

1) , 2) 3) 4) .

Rozhodnutí . 1) Nejdříve najdeme modul a argument složitého čísla : . Vzorec (5) pro mít formu

,

odkud ,

,

.

Body jsou na vrcholech pravidelného trojúhelníku, který je zapsán v kruhu poloměru jednotky, jeden kořen je je skutečné číslo. Argumenty dvou sousedních bodů se liší podle úhlu . Všimněte si, že .

2) zde : to je důvod, proč

,

odkud ,

,

.

Body jsou na vrcholech pravidelného trojúhelníku v kruhu root je skutečné číslo. Všimněte si, že . Porovnejte s výsledky Pr.12.2, kde jste obdrželi t.j. .

3) zde : a na

,

odkud ,

.

4) zde a na

, odkud dostaneme dvě čísla:

, .

Zapamatujte si: .

Úkol 3. Proveďte úkoly pr.14, pokud 1) , 2) .

Příklad 15: Rozložení lineárního trojitého termínu na lineární faktory.

1) ; 2) .

Rozhodnutí . 1) Zvažte kvadratickou rovnici . Jeho diskriminující . To znamená, že neexistují žádné skutečné kořeny. Od č.14.4 to vyplývá . Podle vzorce pro kořeny kvadratické rovnice . Obdržely dva složité konjugované kořeny a . Podle nalezených kořenů můžeme rozdělit čtvercové trinomální v lineárních faktorech:

.

2) Zvažte kvadratickou rovnici . Jeho diskriminující neexistují žádné skutečné kořeny. Od č.14.4 to vyplývá . Podle vzorce pro kořeny kvadratické rovnice . Obdržely dva složité konjugované kořeny a . V souladu s nalezenými kořeny rozkládáme čtvercovou trinomii na lineární faktory:

.

Upozorňujeme na skutečnost, že kvadratická rovnice s reálnými koeficienty má pár komplexních konjugovaných kořenů .

Úkol 4. Ujistěte se, že jsou splněny rozměry lineárního faktoru.

; ; .

Exponenciální forma složitého čísla. Eulerův vzorec (prokázáno později) :

, (6)

umožňuje psát složité číslo v orientační formě :

kde .

Od Eulerova vzorce a od - frekvence sinusu a kosinusu by měla být:

.

Takže t.j. .

Příklad 16 Čísla zapište do exponenciální podoby.

Rozhodnutí . V příkladu 10 nalezen ,

, , ,

, , , . ?

Je snadné ověřit platnost vztahů:

Porovnejte tyto vztahy s pravidly násobení, rozdělení a zvyšování síly komplexních čísel v trigonometrické podobě.

Příklad 17. Porovnejte složitá čísla. a .

Rozhodnutí. Od č. 16: . Mějte čísla a moduly jsou stejné. Zvýraznění čísla více termínů představte si v podobě jako multiplikátor . Takže .