Jak zjistit funkci kontinuity?




Studium funkce na kontinuitu v bodě se provádí podle již srolované rutinní schématu, která spočívá v testování tří podmínek kontinuity:

Příklad 1

Vyzkoušejte funkci na kontinuitě. Určete povahu funkčních přestávek, pokud existují. Provedení výkresu.

Řešení :

1) Jediný bod zasáhne pohled. ve kterém funkce není definována.

2) Vypočítejte jednostranné limity:

Jednostranné limity jsou konečné a stejné.

Takže v bodě funkce toleruje odstranitelnou mezeru.

Jak vypadá graf této funkce?

Chci to zjednodušit , a zdá se, že je to obvyklá parabola. BUT zdrojová funkce není definována na proto je tato rezervace povinná:

Dokončíme výkres:

Odpověď : funkce je spojitá na celé číselné čáře kromě bodu. ve které toleruje odstranitelnou mezeru.

Funkci lze definovat dobrým nebo ne velmi dobrým způsobem, ale podmínkou je, že není nutná.

Říkáte, příklad je vytvořen? Vůbec ne. Několikrát se v praxi setkalo. Téměř všechny úkoly webu pocházejí ze skutečných nezávislých a kontrolních prací.

Sdílení s oblíbenými moduly:

Příklad 2

Vyzkoušejte funkci na kontinuitě. Určete povahu funkčních přestávek, pokud existují. Provedení výkresu.

Řešení : Z nějakého důvodu se studenti bojí a nemají rádi funkce s modulem, i když v nich není nic obtížného. Už jsme se o takových věcech trochu dotkli v lekci Geometrické transformace grafů . Vzhledem k tomu, že modul není negativní, je popsán následovně: kde alfa je výraz. V tomto případě , a naše funkce by měla znamenat po částech:

Ale zlomek obou kusů se sníží . Snížení, stejně jako v předchozím příkladu, nebude fungovat bez následků. Zdrojová funkce není definována v bodě protože jmenovatel jde na nulu. Proto by měl systém dodatečně specifikovat stav a první nerovnost učinit přísné:

Nyní o řešení velmi VYSOKÉ UŽITÍ : před dokončením úkolu na návrh je výhodné vytvořit kresbu (bez ohledu na to, zda je požadována podmínkou nebo ne). To pomůže zaprvé okamžitě vidět body kontinuity a body nesouvislosti a za druhé, že 100% vás ušetří při chybách při hledání jednostranných limitů.

Do výkresu. Podle našich výpočtů nalevo od bodu je třeba nakreslit fragment paraboly (modrá barva) a vpravo - kus paraboly (červená barva), funkce není definována v samotném místě :

Pokud máte pochybnosti, vezměte několik hodnot X a nahraďte je funkcí (nezapomeňte, že modul zničí možný znak mínus) a zkontrolujte plán.


border=0


Funkci analyzujeme průběžně:

1) Funkce není v bodě definována a proto můžeme okamžitě říci, že to není kontinuální.

2) Nastavte povahu mezery, pro toto vypočítáme jednostranné meze:

Jednostranné limity jsou konečné a odlišné, což znamená, že funkce trpí diskontinuitou prvního druhu se skokem v bodě . Nezáleží na tom, zda je funkce definována v bodě zlomu nebo ne.

Nyní zbývá převést návrh z konceptu (byl proveden tak, jako kdyby byl používán výzkum ;-)) a dokončit úkol:

Odpověď : funkce je spojitá na celé číselné čáře kromě bodu. ve kterém trpí prvním skokem s skokem.

Někdy je nutné dodatečně indikovat skok na nespojitosti. Vypočítává se elementárně - levý limit musí být odečten od pravé hranice: , tj. v bodě nespojitosti, naše funkce vyskočila o 2 jednotky dolů (což nám označuje znaménko mínus).

Příklad 3

Vyzkoušejte funkci na kontinuitě. Určete povahu funkčních přestávek, pokud existují. Vytvořte výkres.

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí, vzorové řešení na konci lekce.

Podívejme se na nejpopulárnější a nejběžnější verzi úkolu, kdy se funkce skládá ze tří částí:

Příklad 4

Prozkoumejte funkci kontinuity a vykreslujte funkci

.

Řešení : Je zřejmé, že všechny tři části funkce jsou v odpovídajících intervalech kontinuální, takže zůstává kontrolovat pouze dva body "spojení" mezi jednotlivými kusy. Nejdříve provedeme návrh na návrh, podrobně jsem komentoval stavební techniku ​​v první části článku. Jediná věc, kterou musíte pečlivě sledovat v našich konkrétních bodech: kvůli nerovnosti význam vlastnil přímý (zelená tečka) a nerovností význam patří k parabole (červená tečka):

V zásadě je všechno jasné =) Zůstává vydávat rozhodnutí. Pro každý ze dvou "zadních" bodů běžně kontrolujeme 3 podmínky kontinuity:



I) Prozkoumáme bod kontinuity.

1) - funkce je definována v tomto okamžiku.

2) Najděte jednostranné limity:


Jednostranné limity jsou konečné a odlišné, takže funkce trpí mezerou 1. druhu se skokem v bodě .

Počítáme skok na nespojitosti jako rozdíl mezi pravou a levou hranicí:
, to znamená, že plán spěchá o jednu jednotku.

II) Prozkoumáme bod kontinuity.

1) - funkce je definována v tomto okamžiku.

2) Najděte jednostranné limity:

- jednostranné limity jsou konečné a stejné, což znamená, že existuje společná mez.

3) - mezní hodnota funkce v bodě se rovná hodnotě dané funkce v daném bodě.

Takže funkce kontinuální v bodě definice kontinuity funkce v bodě.

V závěrečné fázi převedeme výkres na čistou kopii, po níž dáváme poslední věc:

Odpověď : funkce je spojitá na celé číselné čáře, s výjimkou bodu. ve kterém trpí prvním skokem s skokem.

Je hotovo.

Příklad 5

Zkontrolujte funkci kontinuity a vykreslete ji .

Toto je příklad nezávislého řešení, stručného řešení a vzorového vzorku úkolu na konci lekce.

Člověk může mít dojem, že funkce musí být v určitém okamžiku spojitá a v jiném okamžiku musí existovat mezera. V praxi tomu tak není vždy. Snažte se zbytečně zanedbávat zbývající příklady - objeví se zajímavé a důležité díly:

Příklad 6

Funkce Dany . Vyzkoušejte funkci na kontinuitě v bodech . Vytvoření grafu.

Řešení : a znovu okamžitě spusťte koncept draft:

Zvláštností tohoto grafu je to, že funkce po částech je dána rovnicí osy úsečky . Zde je tato část označena zeleně a v zápisníku je obvykle odvážně izolována jednoduchou tužkou. A samozřejmě nezapomeňte na naše ovce: hodnotu označuje tečnu větve (červenou tečku) a hodnotu vlastnil přímý .

Z výkresu je vše jasné - funkce je nepřetržitá na celé číselné čáře, ale zůstává tvořit řešení, které je přivedeno k úplnému automatismu doslova po 3-4 podobných příkladech:

I) Prozkoumáme bod kontinuity.

1) - funkce je definována v tomto okamžiku.

2) Vypočítejte jednostranné limity:

to znamená, že existuje obecný limit.

Bylo tu trochu legrační. Faktem je, že jsem vytvořil spoustu materiálů o hranicích funkce a několikrát jsem chtěl, ale několikrát jsem zapomněl na jednu jednoduchou otázku. A tak se neuvěřitelným úsilím vůle stále přinutil, aby neztratil myšlenku =) S největší pravděpodobností někteří čtenáři "čajovny" pochybují: jaký je limit konstanty rovnající se? Mezní konstanta se rovná konstantě samotné. V tomto případě je nulový limit nulový sám (levá strana).

Pokračování:

3) - mezní hodnota funkce v bodě se rovná hodnotě dané funkce v daném bodě.

Takže funkce kontinuální v bodě definice kontinuity funkce v bodě.

II) Prozkoumáme bod kontinuity.

1) - funkce je definována v tomto okamžiku.

2) Najděte jednostranné limity:

A tady, v pravé hranici - je limit jednotky stejný jako jednotka samotná.

- existuje obecná omezení.

3) - mezní hodnota funkce v bodě se rovná hodnotě dané funkce v daném bodě.

Takže funkce kontinuální v bodě definice kontinuity funkce v bodě.

Jak je obvyklé, po výzkumu přeneseme náš výkres na čistou kopii.

Odpověď : funkce je nepřetržitá v bodech. .

Vezměte prosím na vědomí, že v podmínkách, kdy jsme nebyli žádali o studium celé funkce pro kontinuitu, je považováno za dobrý matematický tón, který formuluje přesnou a jasnou odpověď na položenou otázku. Mimochodem, pokud podmínkou nepotřebujete sestavit plán, pak máte veškeré právo, abyste jej nevytvořili (ačkoli učitel to může vynutit).

Malý matematický "vzor" pro nezávislé řešení:

Příklad 7

Funkce Dany .

Vyzkoušejte funkci na kontinuitě v bodech . Rozdělit body zlomení, pokud existují. Provedení výkresu.

Pokuste se správně "vyslovovat" všechna slova "=") A nakreslit graf přesněji, přesnost, nebude to všude nadbytečné ;-)

Jak si vzpomínáš, doporučil jsem si okamžitě provést kresbu na tahu, ale z času na čas existují takové příklady, kdy si okamžitě neuvědomíte, jak vypadá program. Proto je v některých případech výhodné nejprve najít jednostranné limity a teprve pak na základě studie, která by zobrazovala větve. Ve dvou posledních příkladech budeme také zvládat techniku ​​výpočtu některých jednostranných omezení:

Příklad 8

Prozkoumejte funkci kontinuity a budovat svůj schematický diagram.

Řešení : špatné body jsou zřejmé: (změní na nulu jmenovatele ukazatele) a (převede na nulu jmenovatele celé frakce). Není zřejmé, jak vypadá graf této funkce, což znamená, že je lepší provést studii nejprve:

I) Prozkoumáme bod kontinuity.

1) Funkce není definována v tomto bodě.

2) Najděte jednostranné limity:

Dávejte pozor na typickou metodu výpočtu jednostranné meze : ve funkci namísto "X" nahrazujeme . V jmenovateli každého zločinu: "aditivum", "minus nula" nezáleží na tom a ukazuje se "čtyři". Ale v čitateli je malý thriller: nejprve v jmenovateli indikátoru zabít -1 a 1, což má za následek . Jednotka dělená nekonečně malým záporným číslem je "mínus nekonečno", proto: . A konečně, "dva" v nekonečně velkém negativním stupni jsou nulové: . Nebo pokud máte více informací: .

Vypočítejte pravý limit:

A zde - namísto "X" nahradit . V jmenovateli "přísada" opět nezáleží: . V čitateli se provádějí akce podobné předchozímu limitu: zničíme protikladná čísla a dělíme jednotku nekonečně malým kladným číslem :

Pravý limit je nekonečný, takže funkce trpí diskontinuitou druhého druhu na místě .

II) Prozkoumáme bod kontinuity.

1) Funkce není definována v tomto bodě.

2) Vypočítejte levostranný limit:

Metoda je stejná: ve funkci namísto "X" . V čitateli není nic zajímavého - získá se konečné kladné číslo . A v jmenovateli otevřeme závorky, odstraníme "trojku" a "přísada" hraje zásadní roli. .

V důsledku toho konečné kladné číslo dělené nekonečně malým pozitivním číslem dává "plus nekonečno": .

Pravá hranice je jako bratr dvojčata, s jedinou výjimkou, že se v jmenovateli vznáší nekonečně malá záporná čísla :

Jednostranné limity jsou nekonečné, takže funkce trpí diskontinuitou druhého druhu na místě .

Máme tedy dva body zlomu a samozřejmě tři větve grafu. Pro každou větvi je vhodné provádět bodovou konstrukci, tj. odeberte několik hodnot X a nahradit je . чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Všimněte si, že stav umožňuje konstrukci schématu a taková relaxace je přirozená pro ruční práci. Stavím grafiku s programem, takže nemám žádné takové obtíže, je zde poměrně přesný obrázek:

Rovné čáry jsou vertikální asymptoty grafu této funkce.

Odpověď : funkce je spojitá na celé číselné čáře kromě bodů. ve kterém toleruje nespojitosti druhého druhu.

Více jednoduchá funkce pro nezávislé rozhodnutí:

Příklad 9

Prozkoumejte funkci kontinuity a proveďte schématické kreslení.

Přibližné řešení vzorku na konci, které proklouzly bez povšimnutí.

Brzy se uvidíme!

Řešení a odpovědi:

Příklad 3: Řešení : převedení funkce: . Vzhledem k pravidlu zpřístupnění modulu a skutečnost, že , přepíšeme funkci v částečném formátu:

Zkoumáme funkci kontinuity.

1) Funkce není v bodě definována .

2) Vypočítejte jednostranné limity:


Jednostranné limity jsou konečné a odlišné, což znamená, že funkce trpí diskontinuitou prvního druhu se skokem v bodě . Dokončíme výkres:

Odpověď : funkce je spojitá na celé číselné čáře kromě bodu. ve kterém trpí prvním skokem s skokem. Přeskakování: (dvě jednotky nahoru).

Příklad 5: Řešení : každá ze tří částí funkce je kontinuální ve vlastním intervalu.
I) Prozkoumáme bod kontinuity.
1) - funkce je definována v tomto okamžiku.

2) Vypočítejte jednostranné limity:


to znamená, že existuje obecný limit.
3) - mezní hodnota funkce v bodě se rovná hodnotě dané funkce v daném bodě.
Takže funkce kontinuální v bodě definice kontinuity funkce v bodě.
II) Prozkoumáme bod kontinuity.

1) - funkce je definována v tomto okamžiku.

2) Najděte jednostranné limity:


Jednostranné limity jsou konečné a odlišné, takže funkce trpí mezerou 1. druhu se skokem v bodě .
Přeskakování: (pět jednotek dolů).
Výkres naleznete v první části článku.
Odpověď : funkce je spojitá na celé číselné čáře, s výjimkou bodu. ve kterém trpí prvním skokem s skokem.

Příklad 7: Roztok :

I) Prozkoumáme bod kontinuity.

1) - funkce je definována v tomto okamžiku.

2) Najděte jednostranné limity:


Levá strana je nekonečná, takže funkce trpí diskontinuitou druhého druhu v daném okamžiku .
II) Prozkoumáme bod kontinuity.

1) - funkce je definována v tomto okamžiku.

2) Najděte jednostranné limity:


Jednostranné limity jsou konečné a odlišné, takže funkce trpí mezerou 1. druhu se skokem v bodě .
Dokončíme výkres:

Odpověď : V bodě Funkce trpí mezery druhého druhu na místě funkce trpí diskontinuitou prvního druhu skokem.

Příklad 9: Řešení : prozkoumejte bod kontinuity :

1) Funkce není definována v tomto bodě.

2) Vypočítejte jednostranné limity:


Levá strana je nekonečná, takže funkce trpí diskontinuitou druhého druhu v daném okamžiku .
Dokončíme výkres:

Odpověď : funkce je spojitá na celé číselné čáře kromě bodu. ve kterém trpí mezery druhého druhu.

Autor: Emelin Alexander

Vyšší matematika pro externí studenty a nejen >>>

(Přejít na domovskou stránku)

Jak mohu poděkovat autorovi?

Jak najít doménu funkce?

Příklady řešení

Pokud někde není něco, pak někde je něco

Pokračujeme v studiu části "Funkce a grafika" a další stanicí naší cesty je Doména definice funkcí . Aktivní diskuse o této koncepci začala už při první lekci o funkčních výkresech , kde jsem uvažoval o elementárních funkcích a zejména o jejich definicích. Proto doporučuji čajové konvice začít s základy tématu, protože se budu znovu zabývat některými základními body.

Předpokládá se, že čtenář zná oblast definice základních funkcí: lineární, kvadratická, kubické funkce, polynomy, exponenciální, logaritmus, sinus, kosinus. Jsou definovány na . Pro tangenty, arcsines, tak to je, odpusť =) Vzácnější grafy nejsou okamžitě zapamatovány.

Doména definice je zdánlivě jednoduchá věc a vzniká přirozená otázka, o čem bude tento článek? V této lekci budu uvažovat o běžných úkolech při hledání domény funkce. Navíc budeme opakovat nerovnosti s jednou proměnnou , dovednosti řešení, které budou vyžadovány v jiných problémech vyšší matematiky. Materiál, mimochodem, je celá škola, takže to bude užitečné nejen pro studenty, ale i pro studenty. Informace samozřejmě nepředstírají encyklopedickou činnost, ale zde nejsou příliš vzdálené "mrtvé" příklady, ale pečené kaštany, které jsou převzaty ze skutečných prací.

Začněme výrazným řezem v tématu. Stručně o hlavní věci: mluvíme o funkci jedné proměnné . Jeho doménou je soubor hodnot "X", pro které existují hodnoty "hráčů". Zvažte podmíněný příklad:

Doménou této funkce je spojení prostorů:
(pro ty, kteří zapomněli: - ikona sloučení). Jinými slovy, pokud z intervalu použijete hodnotu "X" nebo z nebo z , pak pro každou takovou "X" bude hodnota "her".

Zhruba řečeno, kde je doména - existuje graf funkcí. Ale poločas a bod "tse" není zahrnut v doméně definice, takže grafika tam není.

Ano, mimochodem, pokud není z terminologie a / nebo obsahu prvních odstavců jasné, je lepší vrátit se k článku Grafy a vlastnosti základních funkcí .

Jak najít doménu funkce? Mnoho lidí si pamatuje počty dětí: "kámen, nůžky, papír" a v tomto případě lze snadno přeformulovat: "kořen, frakce a logaritmus". Pokud tedy ve svém životě narazíte na zlomek, kořen nebo logaritmus, měli byste být velmi, velmi opatrní! Mnohem častější jsou dotyková, cotangent, arcsine, arccosine a budeme o nich mluvit. Ale nejprve náčrtky ze života mravenců:





; Datum přidání: 2015-07-21 ; ; Zobrazení: 43853 ; Obsahuje publikovaný materiál autorská práva? |. | | Ochrana osobních údajů OBJEDNAT PRÁCI


Nenašli jste, co jste hledali? Vyhledávání pomocí:

Nejlepší slova: Předání zasedání a ochrana diplomu - strašná nespavost, která se pak zdá být strašným snem. 7763 - |. | 6437 - nebo přečíst všechny ...

Viz též:

border=0
2019 @ edudoc.site

Генерация страницы за: 0.02 сек.